Monte Hallův paradox a jiné hrátky s pravděpodobností - řešení

V minulém čísle jsme vám předložili čtyři dvojice pravděpodobnostních problémů, nyní prozradíme jejich řešení.

Monty Hall aneb Cena za dveřmi

Je větší pravděpodobnost, že velká cena je za vámi vybranými dveřmi, nebo za libovolnými z nevybraných? Jistý návod poskytovala samotná druhá úloha. Jsou-li na začátku alespoň troje dveře, vždy bude větší pravděpodobnost, že výhra bude za skupinou dveří, které jste si nevybrali, a proto je lepší využít příležitost a volbu změnit. Důkladný rozbor najdete na Wikipedii nebo např. v knize Amira D. Aczela s názvem Náhoda.

Dva přátelé a jejich děti

V tomto typu problémů je potřeba si správně uvědomit, jaké jsou všechny teoreticky možné kombinace. Resp. je-li správné uvažovat o 3 možných kombinacích, tj. 2 dívky, 2 chlapci, dívka a chlapec, nebo o 4 možných kombinacích, tj. 2 dívky, 2 chlapci, první dívka a druhý chlapec, první chlapec a druhá dívka. To, že je potřeba použít 4 teoreticky možné kombinace, si snáze uvědomíme, zmíníme-li, stejně jako v našem článku, že mladší je dcera apod. V prvním případě je tedy pravděpodobnost, že má dvě dcery, 1/3, a pravděpodobnost, že má dceru a syna, 2/3. Ve druhém případě máme k dispozici dvě možnosti (určujeme vlastně pohlaví pouze u staršího dítěte) a pravděpodobnost obou případů je 1/2.

Alzheimer

Zde je dobré si stanovit pravděpodobnost všech možností. Dle zadání má v prvním případě chorobu 1 % osob a 80 % osob s chorobou má pozitivní výsledek. Tedy možnost „má chorobu a pozitivní výsledek testu“ platí pro 0,8 % osob, „má chorobu a negativní výsledek testu“ pro 0,2 % osob. Zbývá 99 % osob bez choroby, z nichž 10 % bude mít pozitivní výsledek, tedy možnost „nemá chorobu, ale má pozitivní výsledek“ platí pro 9,9 % osob, a „nemá chorobu a má negativní výsledek“ platí pro 89,1 % osob.

Ve druhém případě jsou pravděpodobnosti případů „má chorobu a pozitivní výsledek“ a „má chorobu a negativní výsledek“ stejné, pravděpodobnost případu „nemá chorobu a má pozitivní výsledek“ však bude 10,1 % a pravděpodobnost případu „nemá chorobu a má negativní výsledek“ 88,9 %.

Teď tedy máme osobu s pozitivním testem, tj. někoho ze skupiny 0,8 % + 9,9 % = 10,7 %. Ke kýženému výsledku se dostaneme výpočtem, kolik procent činí 0,8 ze základu 10,7. Výsledek je 7,5 %.

Ve druhé variantě počítáme, kolik procent činí 0,8 ze základu 10,9. Výsledek je 7,3 %, tedy mezi 10 osobami s pozitivním testem bude maximálně jeden skutečně mít chorobu.

Kufříky

Kdy přijmout bankéřovu nabídku? Podrobné vysvětlení najdete v knize J. Lehrera Jak se rozhodujeme. Pravděpodobnost, že váš kufřík obsahuje jednu konkrétní částku, je 1/4. Tedy s 25% pravděpodobností vyhrajete 200 a s 25% pravděpodobností vyhrajete 500 000. V průměru tedy vyhrajete 751 200/4 tj. 187 800. Bankéř nabídl méně, a proto je lepší nabídku odmítnout. Po otevření kufříku s 500 000 je možná průměrná výhra 251 200/3, tj. 83 733. Bankéř nabízí víc a v tuto chvíli je výhodné jeho nabídku přijmout.

Autor: Hana Kotinová, David Kotin
Sdílet
Hledání
Členské příspěvky
Informace o tom jak zaplatit členské příspěvky naleznete na webu Mensy.
Stažení časopisu
Časopis Mensa 3/2017 (červen) si můžete stáhnout ve formátu PDF kliknutím na obrázek.
Titulní strana časopisu Mensa 3/2017
Inzerujte s Mensou
Informace o možnostech inzerce v médiích Mensy ČR naleznete na stránce inzerce v papírovém časopise.
Hledáme
"Historiky"
Mensa má na našem území bohatou historii, avšak jen její malá část je přehledně zmapována. Hledáme pomocníky, kteří by chtěli projít několik starších časopisů, vybrat z nich relevantní informace a upravit je do přehledné podoby.

Programátora
Šikovného programátora, který by byl ochoten věnovat část svého času a doprogramovat nám sekci Kariéra na intranetu Mensy.

Práce v redakci je dobrovolná a nemůžeme Vám za ni slíbit hmotný honorář. Nabízíme Vám však možnost dělat zajímavé věci s lidmi, se kterými je radost pracovat. Se zájmem se, prosím, obracejte na .
Inteligence
Inteligence a její měření
Co je to inteligence, jak se člení a jak ji můžeme změřit, co to znamená IQ?

Popis různých stupnic IQ
Na světě se používají různé stupnice IQ, vysvětlujeme jejich podstatu a vztahy mezi nimi

Historie měření inteligence
Podrobně vysvětlujeme jak se vyvíjely způsoby a metody měření inteligence

Jsme chytřejší než naši předkové?
Rozebíráme Flynnův efekt a změnu průměrné inteligence v populaci během 20. století

Kreativní génius nebo psychotik?
Hranice mezi geniálním a psychotickým jedincem je často velmi úzká, vysvětlujeme, proč tomu tak je a zda spolu tyto vlastnosti souvisí

Chcete znát své IQ?
Přihlaste se na testování IQ pořádané společností Mensa, které na rozdíl od mnoha pochybných testů na internetu probíhá prostřednictvím mezinárodně uznávaného a standardizovaného testu.
Mensa v médiích
Našli jste nějaký článek o Mense? Prosím, pošlete odkaz na adresu .
Napište nám
Rádi píšete a chcete uveřejnit článek v časopise nebo na webu Mensy? Chtěli byste Mense pomoci jinak? Potom určitě napište na .
Testování inteligence
Informace a přihlášku na oficiální testování inteligence naleznete na http://testovani.mensa.cz/. Testování můžete také někomu darovat formou dárkové poukázky.
Tištěný časopis
Časopis Mensa může odebírat kdokoliv (i nečlen) na území ČR za 150 Kč ročně. Se zájmem o předplatné se, prosím, obracejte na sekretářku: .