Monty Hallův paradox a jiné hrátky s pravděpodobností

Umíte správně vypočítat pravděpodobnost? Zkuste vyřešit následujících osm soutěžních úloh.

Kostky

Jste soutěžícím v herní show, úspěšně jste prošli všemi koly soutěže a máte před sebou poslední úkol: vybrat si jedny ze tří dveří. Za dvěma z nich je nějaká mini cena, např. potravinový nebo kosmetický balíček. Za třetími je velká cena, např. auto, cesta kolem světa apod. Moderátor soutěže ví, co se nachází za kterými dveřmi, ale vy jako soutěžící to samozřejmě netušíte.

Řekněme, že jste si vybrali dveře číslo 3. Moderátor bude stupňovat napětí a nejprve ukáže např. dveře číslo 1. Za nimi je malý potravinový balíček. Moderátor se vás nejprve zeptá, zda si tuto výhru přejete ponechat. To samozřejmě nechcete, a proto vám dá opět na výběr. Trváte na dveřích číslo 3, anebo je radši vyměníte za dveře číslo 2? Co byste si zvolili vy?

Většina lidí asi zůstane u své původní volby. Co je však lepší, pokud chceme maximalizovat pravděpodobnost získání nejcennější výhry? Představte si, že dveře nejsou tři, ale že jich je deset. Za devíti je stejná malá cena, za desátými dveřmi velká cena. Jedny si vyberete, řekněme, že opět číslo 3. Moderátor otevře všechny dveře kromě vámi zvolených dveří číslo 3 a dveří číslo 2. A opět vám dá vybrat, zdali chcete zůstat u své původní volby čísla 3, nebo zdali volbu změníte na číslo 2. Pro co se rozhodnete tentokrát? Myslíte si, že pravděpodobnost získání lepší ceny je padesátiprocentní, ať už zůstanete u původní volby, nebo své rozhodnutí změníte? Nebo je to jinak? Přemýšlejte, řešení prozradíme v příštím čísle.

Potkali jste dva dávné kamarády a v průběhu hovoru vám jeden z nich prozradí, že má dvě děti. Šibalsky dodá, že alespoň jedno z nich je dcera. Předpokládejme, že pravděpodobnost narození chlapce a dívky je naprosto stejná, tj. 50 %. Jaká je pravděpodobnost, že má dceru a syna, a jaká je pravděpodobnost, že má dvě dcery? Druhý říká, že taky má dvě děti a mladší z nich je dcera. Jaká je teď pravděpodobnost, že má dvě dcery, a jaká, že má dceru a syna?

Všechna čísla v dalších dvou úlohách jsou vymyšlená.

Řekněme, že v běžně prováděném screeningu je pravděpodobnost, že osoba starší 80 let má Alzheimerovu chorobu, 1 %. Pokud osoba starší 80 let Alzheimerovu chorobu má, test bude v 80 % pozitivní. Pokud stejná osoba chorobu nemá, test bude pozitivní v 10 % případů. Test jedné osoby ukazuje pozitivní výsledek. Jaká je pravděpodobnost, že skutečně má Alzheimerovu chorobu?

A druhá verze téhož: V běžně prováděném screeningu bude mít 10 z 1 000 lidí starších 80 let Alzheimerovu chorobu. Test ukázal pozitivní výsledek u 8 z 10 otestovaných. Z 990 lidí, kteří se nechají otestovat, se ukáže pozitivní výsledek u 100 lidí. Teď máte skupinu 100 lidí s pozitivním výsledkem testu. Kolik z nich má Alzheimerovu chorobu? Bude se pravděpodobnost s tímto zadáním lišit od předchozího?

Ber nebo neber – hra s kufříky, kterou možná znáte z televize. Jsou čtyři kufříky a každý z nich ukrývá buďto 200, 1 000, 250 000 nebo 500 000 Kč (samozřejmě nevíte, kde se která finanční suma nachází). Na začátku si jeden vyberete, ale neotevřete ho. V každém kole se pak otevírá další ze zbývajících kufříků a podle částky uvnitř vám bankéř – váš protihráč – udělá odpovídající nabídku za váš neotevřený kufřík. Ta roste nebo klesá na základě pravděpodobnostního výpočtu, kolik peněz ještě zůstává ve hře.

Bankéř vám nejdříve nabídne 126 621 Kč. Přijmete? Řekněme, že jste se rozhodli nepřijmout a otevřeli další volný kufřík, který (bohužel pro vás, tento kufřík už si nesmíte vybrat) obsahoval částku 500 000 Kč. Bankéř nyní nabízí 86 850 Kč. Přijmete nabídku?

Pokračování příště… Z těch, kdo se pokusí o řešení a zašlou nám odpověď na e-mail hana.kotinova@mensa.cz, vylosujeme výherce drobné odměny.
Autor: David Kotin, Hana Kotinová
Sdílet

Komentáře

Hledání
Členské příspěvky
Informace o tom jak zaplatit členské příspěvky naleznete na webu Mensy.
Stažení časopisu
Časopis Mensa 5/2017 (říjen) si můžete stáhnout ve formátu PDF kliknutím na obrázek.
Titulní strana časopisu Mensa 5/2017
Inzerujte s Mensou
Informace o možnostech inzerce v médiích Mensy ČR naleznete na stránce inzerce v papírovém časopise.
Hledáme
"Historiky"
Mensa má na našem území bohatou historii, avšak jen její malá část je přehledně zmapována. Hledáme pomocníky, kteří by chtěli projít několik starších časopisů, vybrat z nich relevantní informace a upravit je do přehledné podoby.

Programátora
Šikovného programátora, který by byl ochoten věnovat část svého času a doprogramovat nám sekci Kariéra na intranetu Mensy.

Práce v redakci je dobrovolná a nemůžeme Vám za ni slíbit hmotný honorář. Nabízíme Vám však možnost dělat zajímavé věci s lidmi, se kterými je radost pracovat. Se zájmem se, prosím, obracejte na .
Inteligence
Inteligence a její měření
Co je to inteligence, jak se člení a jak ji můžeme změřit, co to znamená IQ?

Popis různých stupnic IQ
Na světě se používají různé stupnice IQ, vysvětlujeme jejich podstatu a vztahy mezi nimi

Historie měření inteligence
Podrobně vysvětlujeme jak se vyvíjely způsoby a metody měření inteligence

Jsme chytřejší než naši předkové?
Rozebíráme Flynnův efekt a změnu průměrné inteligence v populaci během 20. století

Kreativní génius nebo psychotik?
Hranice mezi geniálním a psychotickým jedincem je často velmi úzká, vysvětlujeme, proč tomu tak je a zda spolu tyto vlastnosti souvisí

Chcete znát své IQ?
Přihlaste se na testování IQ pořádané společností Mensa, které na rozdíl od mnoha pochybných testů na internetu probíhá prostřednictvím mezinárodně uznávaného a standardizovaného testu.
Mensa v médiích
Našli jste nějaký článek o Mense? Prosím, pošlete odkaz na adresu .
Napište nám
Rádi píšete a chcete uveřejnit článek v časopise nebo na webu Mensy? Chtěli byste Mense pomoci jinak? Potom určitě napište na .
Testování inteligence
Informace a přihlášku na oficiální testování inteligence naleznete na http://testovani.mensa.cz/. Testování můžete také někomu darovat formou dárkové poukázky.
Tištěný časopis
Časopis Mensa může odebírat kdokoliv (i nečlen) na území ČR za 150 Kč ročně. Se zájmem o předplatné se, prosím, obracejte na sekretářku: .