Krátká historie infinitezimálních (nekonečně malých) hodnot

Kdo to byli Pythagorijci a kdo musel umřít, aby mohl vzniknout moderní kalkul?

Někdy v 5. století před naším letopočtem řecký filozof Hippasos z Metapontu, člen Pythagorova společenství, opustil svůj domov v jižní Itálii a nalodil se na zámořskou loď. Nevíme, proč se Hippasos vydal na cesty ani kam měl namířeno, ale víme, že tam nedojel. Legenda praví, že jakmile se loď dostala dál od břehu, ubohého filozofa napadli jeho kolegové pythagorejci a hodili ho přes palubu. Pythagorejci k tomu měli dobrý důvod. V souladu s učením svého zakladatele Pythagora vášnivě věřili, že všechno na světě lze popsat pomocí celých čísel a jejich zlomků. Hippasos však dokázal, že úhlopříčka čtverce je nedělitelná jeho stranou, neboli jak bychom řekli dnes, druhá odmocnina ze dvou je iracionální číslo.

Hippasův objev změnil směr vývoje západní matematiky. Ukázal, že podíl strany a úhlopříčky čtverce nelze vyjádřit jako jednoduchý zlomek, čímž popřel Pythagorovo snažení. Z toho dále vyplynulo, že přímku nelze popsat jako sled malých bodů spojených dohromady. Hippasos dokázal, že diskrétní čísla a body nemohou nikdy zcela popsat svět obsahující spojité entity, jako jsou přímky a plochy. Důsledkem bylo, že jedinou pravou matematickou vědou se tehdy stala geometrie, která zkoumá vzájemné vztahy mezi spojitými veličinami.

Po další dvě tisíciletí zůstala Hippasova zjištění nerozporována a geometrie vládla matematice. Až v 16. a 17. století nová generace matematiků v Nizozemsku (Simon Stevin), Anglii (Thomas Harriot, John Wallis) a zejména Itálii (Bonaventura Cavalieri, Evangelista Torricelli) začala rozlišovat mezi diskrétními body a spojitými veličinami. Přemýšleli, co by se stalo, kdyby předpokládali, že přímka je řetězec nekonečně malých bodů. Podobně, že plocha se skládá z přímek umístěných těsně vedle sebe a těleso z ploch naskládaných na sebe. Rychle dospěli k velkolepým výsledkům. Díky tomuto předpokladu byli schopni snadno spočítat délku a zakřivení geometrických křivek, plochu geometrických obrazců a objem těles – výpočty, které byly pomocí klasické geometrie velmi obtížně řešitelné.

Okolo roku 1700 Isaac Newton a Gottfried Leibniz zpracovali tento postup do silného algoritmu známého jako „kalkul“, který je možné aplikovat na cokoli od pohybu planet přes vibrace strun k letu dělové koule. Průkopníci nové metody dobře věděli, že jejich postup spočívá na nejistých logických základech, ale většinou je to netrápilo. Dokud jejich metody vedly ke správným výsledkům, prohlašovali, že musí být v zásadě správné. Ne všichni však byli tak optimističtí. Kritici z řad italských jezuitů a irský filozof a biskup George Berkeley tvrdili, že infinitezimální čísla podkopávají matematiku, a dokonce i samotnou racionalitu a nevyhnutelně musí vést k závažným chybám. A tak se rozproudila bouřlivá debata.

Nakonec to byl francouzský matematik Augustin Louis Cauchy, kdo si napočátku 19. století uvědomil, že problém nové matematiky spočívá v předpokladu, že by měla odpovídat hmotné realitě. To však není možné, jak ukázal již Hippasos. A tak Cauchy v roce 1821 ve své práci „Cours d'analyse“ přepracoval kalkul, aniž by se nechal rozptylovat intuitivní představou, že přímka se skládá z nekonečně malých bodů. Definoval základní pojmy derivace a integrál, založené na limitní hodnotě funkce. Transformací kalkulu do přesného matematického systému ukončil Cauchy konflikt, který trval více než dvě tisíciletí. V 5. století před naším letopočtem Hippasos ukázal, že matematika nikdy nemůže plně popsat svět. V 19. století našeho letopočtu ukázal Cauchy, že to dělat nemusí: Matematika přežije a bude prosperovat ve svém vlastním světě osvobozeném z pout hmotné reality. A tak se zrodila moderní matematika

.

Autor: Z originálu A Brief History of Infinitesimals, Mensa World Journal (zdroj www.scientificamerican.com), June 2014, přeložila Pavla Janovská
Sdílet
Hledání
Členské příspěvky
Informace o tom jak zaplatit členské příspěvky naleznete na webu Mensy.
Stažení časopisu
Časopis Mensa 3/2017 (červen) si můžete stáhnout ve formátu PDF kliknutím na obrázek.
Titulní strana časopisu Mensa 3/2017
Inzerujte s Mensou
Informace o možnostech inzerce v médiích Mensy ČR naleznete na stránce inzerce v papírovém časopise.
Hledáme
"Historiky"
Mensa má na našem území bohatou historii, avšak jen její malá část je přehledně zmapována. Hledáme pomocníky, kteří by chtěli projít několik starších časopisů, vybrat z nich relevantní informace a upravit je do přehledné podoby.

Programátora
Šikovného programátora, který by byl ochoten věnovat část svého času a doprogramovat nám sekci Kariéra na intranetu Mensy.

Práce v redakci je dobrovolná a nemůžeme Vám za ni slíbit hmotný honorář. Nabízíme Vám však možnost dělat zajímavé věci s lidmi, se kterými je radost pracovat. Se zájmem se, prosím, obracejte na .
Inteligence
Inteligence a její měření
Co je to inteligence, jak se člení a jak ji můžeme změřit, co to znamená IQ?

Popis různých stupnic IQ
Na světě se používají různé stupnice IQ, vysvětlujeme jejich podstatu a vztahy mezi nimi

Historie měření inteligence
Podrobně vysvětlujeme jak se vyvíjely způsoby a metody měření inteligence

Jsme chytřejší než naši předkové?
Rozebíráme Flynnův efekt a změnu průměrné inteligence v populaci během 20. století

Kreativní génius nebo psychotik?
Hranice mezi geniálním a psychotickým jedincem je často velmi úzká, vysvětlujeme, proč tomu tak je a zda spolu tyto vlastnosti souvisí

Chcete znát své IQ?
Přihlaste se na testování IQ pořádané společností Mensa, které na rozdíl od mnoha pochybných testů na internetu probíhá prostřednictvím mezinárodně uznávaného a standardizovaného testu.
Mensa v médiích
Našli jste nějaký článek o Mense? Prosím, pošlete odkaz na adresu .
Napište nám
Rádi píšete a chcete uveřejnit článek v časopise nebo na webu Mensy? Chtěli byste Mense pomoci jinak? Potom určitě napište na .
Testování inteligence
Informace a přihlášku na oficiální testování inteligence naleznete na http://testovani.mensa.cz/. Testování můžete také někomu darovat formou dárkové poukázky.
Tištěný časopis
Časopis Mensa může odebírat kdokoliv (i nečlen) na území ČR za 150 Kč ročně. Se zájmem o předplatné se, prosím, obracejte na sekretářku: .